Comment parvenir à l'Ordre par le Chaos ?
Dernière mise à jour : 29 juin
Il s'agit là de la retranscription écrite d'un de mes sujets proposés dans le cadre de mon Grand Oral.
Introduction
Premièrement, examinons le sens commun du terme "Chaos". Le "Chaos", par l'usage quotidien que l'on en fait, se rapporte à un désordre latent et désigne de ce fait une confusion générale parmi des éléments distincts. Cependant, en mathématiques, il n'en est rien. Le Chaos adopte une tout autre signification qui recèle de multiples subtilités que je vous exposerai tout au long de ce sujet.
Ainsi, nous nous demanderons explicitement comment parvenir à l'Ordre par le Chaos.
D'abord, nous étudierons les prémices et les principes fondamentaux de la théorie du Chaos. Ensuite, nous verrons leur application concrète quant à la prédictibilité météorologique.
I - Prémices & Principes Fondamentaux de la Théorie du Chaos
A. Déterminisme Laplacien
Pour commencer, effectuons un saut dans le passé. Nous nous retrouvons au coeur du XIXème siècle. Il s'agit alors de l'apogée d'une doctrine philosophique que l'on dénomme le déterminisme laplacien. Le déterminisme laplacien stipule que l'Univers, aussi vaste soit-il, est régi par des équations précises et que du moment que l'on connaît les données initiales de tout évènements, on est en mesure de pouvoir prédire absolument tous les phénomènes futurs.
« Nous devons envisager l'état de l'Univers comme l'effet de son état antérieur et la cause de ce qui va suivre » (Pierre-Simon Laplace)
Quelques décennies plus tard, l'émergence de la Théorie du Chaos dérogera à ce que proclamait le déterministe laplacien. Nous verrons plus exactement dans quelle mesure.
B. Pendule VS Double Pendule
Nous allons à présent étudier 2 systèmes particuliers qui sont dits "dynamiques". Il s'agit par conséquent de systèmes dont les variables évoluent au cours du temps. Le premier est un pendule simple et correspond à un système dynamique classique, tandis que le sencond est un double pendule (qui s'articule en 2 bras mobiles) correspondant alors à un système dynamique chaotique. Mais alors, comment est-on parvenu à distinguer la nature de ces 2 systèmes dynamiques ? Et plus précisément, comment les caractériser ? Si on considère dans un premier temps, le cas du pendule simple, quelque soit l'angle du lâcher, sa trajectoire sera toujours à peu près identique, seule l'amplitude du mouvement va certainement varier et l'on obtiendra alors des arcs de cercle de différentes longueurs. Ainsi, la variation de cet angle n'a pas réellement d'incidence quant à l'évolution du système étudié.
En revanche, si l'on considère maintenant le cas du double pendule, et que l'on fait varier infiniment peu l'angle du lâcher, alors la trajectoire obtenue sera complètement dissemblable de la précédente. Cette particularité caractérisant les systèmes dynamiques chaotiques, il s'agit du phénomène de la sensiblité au conditions initiales. Autrement formulé, une infime variation des conditions initiales conduit à des répercussions considérables quant à l'évolution du système.
II - Prédictibilité Météorologique
A. Histoire de l'Émergence de la Théorie du Chaos
En 1963, Edward Norton Lorenz, météorologue au MIT, construit une modélisation de l'atmosphère terrestre. Il reprend alors des équations essentielles et fondamentales dans le domaine de la mécanique des fluides. Il s'agit des équations de Navier-Stokes, permettant en l'occurence de décrire les mouvements des fluides. Ces équations sont réputées comme étant extrêmement complexes à résoudre, c'est pourquoi Lorenz procède à une simplification. Il considère également les phénomènes relevant de la thermodynamique, et obtient ensuite un système de 3 équations différentielles. Ce modèle permet alors de décrire les mouvements convectifs au sein de l'atmosphère terrestre. (Consulter Support)
Pour simple rappel, une équation différentielle est une équation qui lie une fonction à ses dérivées quelque soit leur ordre. Dans ce cas en particulier, l'on est restreint à l'ordre 1 qui est symbolisé par le point qui figure sur les variables concernées. Il s'agit par ailleurs de la notation de Newton. Aussi, le système de Lorenz comporte différents paramètres et variables. Les paramètres se rapportent aux conditions auxquelles est confronté l'environnement dans lequel évolue le système tandis que les variables, il s'agit, de façon générique, de la température, de la pression ainsi que de la vitesse.
En 1972, Lorenz soutient donc une conférence qui s'intitule : "Predictability : Does the Flap of a Butterfly's wings in Brazil Set Off Tornado in Texas ?". Cette formule est retentissante. C'est de cette façon que les recherches menées par Lorenz vont parvenir aux oreilles des mathématiciens, qui n'étaient alors pas accoutumés à lire les rapports des météorologues.
Par ailleurs, c'est de là que résulte l'expression courante "effet papillon" que l'on continue d'employer de nos jours, qui finalement illustre le phénomène de la sensibilité aux conditions initiales.
B. Attracteur de Lorenz
La particularité de la modélisation de Lorenz, c'est qu'il s'agit d'un système dynamique chaotique. C'est-à-dire que malgré le fait qu'il existe des équations mathématiques spécifiques pour décrire le mouvement du système, l'on n'est pourtant pas en mesure de pouvoir prédire son évolution de façon fiable à long terme du fait de la sensibilité aux conditions initiales caractérisant le système.
De plus, l'on peut choisir de faire évoluer notre système dans un espace abstrait que l'on nomme l'espace des phases. Dans cet espace, l'on trouve un repère comportant 3 axes (3 dimensions). Chacun des axes est associé à l'une des 3 variables du système proposé par Lorenz. En conséquence, chacun des points figurant dans cet espace correspond à un état particulier de l'atmosphère à un instant donné. Les trajectoires que l'on y voit, constituées d'une multitude de points, matérialisent ainsi l'évolution du système au cours du temps.
Par la suite, Lorenz entreprend diverses simulations et il constate que quelque soit les données initiales qu'il rentre dans le logiciel, le résultat est toujours approximativement le même. En effet, les trajectoires esquissent toujours à peu près la même figure géométrique. La structure surprenant qu'il se dégage alors est un attracteur. Plus précisément, un attracteur est une figure géométrique, qui nous est donné de concevoir à travers l'espace des phases, et vers laquelle convergent toutes les trajectoires.
Nous allons à présent déterminer comment illustrer le phénomène de la sensiblité aux conditions initiales dans cet attracteur. Et bien, l'on considère 2 points extrêmement proches, dans cet espace des phases, correspondant alors à 2 états initiaux de l'atmosphère qui semblent hautement similaires mais qui sont pourtant distincts. L'on fait maintenant évoluer nos atmosphères au cours du temps. Ce qui se produit est étonnant car malgré le fait que les trajectoires (qui correspondent chacune à nos 2 situations atmosphériques initiales) semble se suivrent au départ, elles finissent au bout d'un certain temps à se désunir et à poursuivre des évolutions complètement autonomes et foncièrement disjointes. C'est par l'étude de ce phénomène qui vient de vous être exposé que l'on est parvenu à la conclusion selon laquelle nos prévisions météorologiques ne peuvent pas être fiables au-delà d'un délai de 2 semaines.
Conclusion
En somme, la représentation de l'évolution des systèmes dynamiques chaotiques dans un espace des phases nous conduit à percevoir une structure sous-jacente que l'on a baptisé un attracteur. L'on parvient ainsi à "déceler de l'ordre caché sous un désordre apparent". L'évolution de ces systèmes n'est finalement pas aléatoire. Toutefois, leur prédictibilité nous échappe inexorablement. C'est pourquoi l'on emploie l'expression du "Chaos Déterministe". Enfin, je conclurai par une citation qui nous est proposée par Henri Poincaré (mathématicien du XIXème siècle) : "Le hasard n'est que la mesure de notre ignorance".
Support
Ce support comporte quelques éléments afin de faciliter la compréhension du sujet. Je vous invite à vous y référer.
Figure n°1 : Comparaison entre 2 systèmes dynamiques (classique / chaotique)
Figure n°2 : Représentation en 2 dimensions de l'attracteur de Lorenz
Figure n°3 : Système d'Équations Différentielles
Chapeau !!!!!!